選自medium，作者：Tivadar Danka，機(jī)器之心編譯，參與：李詩(shī)萌、張倩。
一般而言，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的整體性能取決于幾個(gè)因素。通常最受關(guān)注的是網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)，但這只是眾多重要元素之一。還有一個(gè)常常被忽略的元素，就是用來(lái)擬合模型的優(yōu)化器。
為了說(shuō)明優(yōu)化的復(fù)雜性，此處以 ResNet 為例。ResNet18 有 11,689,512 個(gè)參數(shù)。尋找最佳參數(shù)配置，也就是在 11,689,512 維的空間中定位一個(gè)點(diǎn)。如果暴力搜索的話，可以把這個(gè)空間分割成網(wǎng)格。假設(shè)將每個(gè)維度分成十格，那么就要檢查 10^（10 的 次方）組可能的配置，對(duì)每一組配置都要計(jì)算損失函數(shù)，并找出損失最小的配置。
10 的 次方是一個(gè)什么概念？已知宇宙中的原子才只有 10^83 個(gè)，宇宙的年齡只有 4.32 x 10^17 秒（約 137 億年）。如果從大爆炸開始，每秒檢查 10^83 個(gè)原子，我們現(xiàn)在才檢查了 4.32*10^1411 個(gè)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于上述網(wǎng)格可能的配置數(shù)。
所以優(yōu)化器非常重要。它們就是用來(lái)處理這種難以理解的復(fù)雜性的。有了它，你就可以將訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)的時(shí)間壓縮在幾天內(nèi)，而不是數(shù)十億年間。下文將從數(shù)學(xué)角度深入研究?jī)?yōu)化器，并了解它們是如何完成這一看似不可能的任務(wù)的。
優(yōu)化的基礎(chǔ)
我們從簡(jiǎn)單的地方開始。假設(shè)要最大化單變量函數(shù)。（在機(jī)器學(xué)習(xí)中，通常以最小化損失函數(shù)為目標(biāo)，不過(guò)最小化就等同于最大化函數(shù)的負(fù)值。）
定義：
對(duì)函數(shù)作圖：
最直觀的方法是將這條線劃分成網(wǎng)格，檢查每個(gè)點(diǎn)的值，然后選擇函數(shù)值最大的點(diǎn)。正如引言中所說(shuō)，這是不可擴(kuò)展的，因此要找其他解決方案。將這條線想象成一座要爬到頂峰的山。假設(shè)位于紅點(diǎn)處：
如果要到達(dá)山峰，該往哪個(gè)方向走？當(dāng)然，應(yīng)該向斜率增加的地方前進(jìn)。這個(gè)概念對(duì)應(yīng)的是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。在數(shù)學(xué)上，導(dǎo)數(shù)定義為：
乍看之下，導(dǎo)數(shù)非常神秘，但它的幾何意義非常簡(jiǎn)單。仔細(xì)看一下求導(dǎo)的點(diǎn)：
對(duì)任何 x 和 y，通過(guò) f(x) 和 f(y) 的這條線定義為：
一般而言，如果用 at+b 定義一條直線，那稱 a 為這條線的斜率。這個(gè)值既可以是正值也可以是負(fù)值，斜率為正，直線向上走；斜率為負(fù)，直線向下走。絕對(duì)值越大，直線越陡。如果像導(dǎo)數(shù)定義中一樣，讓 y 越來(lái)越接近 x，那么這條線就會(huì)成為 x 處的切線。
（圖注）在 x=-2.0 時(shí)，f(x)的切線和逼近線。切線為：
切線方向記為向量(1,f’(x))。
如果從 x_0=-2.0 的位置開始登山，應(yīng)該沿切線上升的方向前進(jìn)。如果切線的斜率較大，可以大步邁進(jìn)；如果斜率接近零，應(yīng)該小步小步往上爬，以免越過(guò)峰值。如果用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示，我們應(yīng)該用下面這種方式定義下一個(gè)點(diǎn)：
式中 λ 是個(gè)參數(shù)，設(shè)置前進(jìn)的步長(zhǎng)。這就是所謂的學(xué)習(xí)率。通常，后續(xù)步驟定義為：
正導(dǎo)數(shù)意味著斜率在增加，所以可以前進(jìn)；而負(fù)導(dǎo)數(shù)意味著斜率在減少，所以要后退。可視化這個(gè)過(guò)程：
如你所見，這個(gè)簡(jiǎn)單的算法成功地找到了峰值。但如圖所示，這并非函數(shù)的全局最大值。在所有的優(yōu)化算法中，這都是一個(gè)潛在的問(wèn)題，但還是有解決辦法的。
在這個(gè)簡(jiǎn)單的例子中，我們只最大化了單變量函數(shù)。這樣雖然可以有效地說(shuō)明這個(gè)概念，但在現(xiàn)實(shí)生活中，可能存在數(shù)百萬(wàn)變量，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中就是如此。下一部分將會(huì)介紹，如何將這樣簡(jiǎn)單的算法泛化到多維函數(shù)的優(yōu)化。
多維優(yōu)化
在單變量函數(shù)中，可以將導(dǎo)數(shù)視為切線的斜率。但遇到多個(gè)變量，則不能如此。先來(lái)看個(gè)具體的例子。定義函數(shù)：
這個(gè)函數(shù)將是這部分的 toy example 。
對(duì) f(x,y)作圖。這是一個(gè)有兩個(gè)變量的函數(shù)，圖像是一個(gè)曲面。馬上可以發(fā)現(xiàn)，這樣很難定義切線的概念，因?yàn)榕c曲面上一個(gè)點(diǎn)相切的線有很多。事實(shí)上，可以做一個(gè)完整的平面。這就是切平面。
f(x,y)在點(diǎn) (0,0) 處的切平面。但切平面有兩個(gè)非常特別的方向。以點(diǎn) (0,0) 處的切平面為例。對(duì)每一個(gè)多變量函數(shù)來(lái)說(shuō)，先固定所有變量只取一個(gè)能動(dòng)的變量，這樣這個(gè)函數(shù)基本上就變成單變量函數(shù)了。示例函數(shù)變?yōu)椋?/p>
和：
可以用垂直于坐標(biāo)軸的平面分割曲面，來(lái)可視化上面這兩個(gè)函數(shù)。平面和曲面相交處就是 f(x,0) 或 f(0,y)，這取決于你用哪個(gè)平面。
用垂直的平面切割曲面，可視化 f(0,x)。對(duì)這些函數(shù)，就可以像上文一樣定義導(dǎo)數(shù)了。這就是所謂的偏導(dǎo)數(shù)。要泛化之前發(fā)現(xiàn)峰值的算法，偏導(dǎo)數(shù)起著至關(guān)重要的作用。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言定義：
每個(gè)偏導(dǎo)數(shù)表示切平面上的一個(gè)方向。
切平面上偏導(dǎo)數(shù)的方向。偏導(dǎo)數(shù)的值是特殊切線的斜率。最陡的方向根據(jù)梯度確定，定義為：
注意，梯度是參數(shù)空間中的方向?？梢暂p松在二維平面中繪制出梯度，如下圖所示：
f(x,y)的梯度。綜上所述，發(fā)現(xiàn)峰值的算法現(xiàn)在成為：
這就是所謂的梯度上升（gra ** nt ascent）。如果要求函數(shù)最小值，就要沿負(fù)梯度的方向邁出一步，也就是下降最陡的方向：
這就是所謂的梯度下降（gra ** nt descent），你可能會(huì)很頻繁地看到它，因?yàn)樵跈C(jī)器學(xué)習(xí)中，實(shí)際上是要最小化損失。
為什么梯度指向最陡的上升方向？
在這種情況下，要知道為什么梯度給出的是最陡峭的上升方向。為了給出精確的解釋，還要做一些數(shù)學(xué)計(jì)算。除了用垂直于 x 軸或 y 軸的垂直平面切割曲面外，還可以用 (a,b) 任意方向的垂直平面切割曲面。對(duì)于偏導(dǎo)數(shù)，有
可以將它們視為 f(x,y) 沿 (1,0) 和(0,1)方向的導(dǎo)數(shù)。盡管這些方向特別重要，但也可以任意規(guī)定這些方向。也就是說(shuō)，假設(shè)方向?yàn)椋?/p>
這個(gè)方向的導(dǎo)數(shù)定義為：
注意，最后一個(gè)等式就是方向向量和梯度的點(diǎn)積，這可能和高中幾何課堂上遇到的點(diǎn)積是相同的。所以：
問(wèn)題是，哪個(gè)方向的方向?qū)?shù)最大？答案是上升程度最陡峭的方向，所以如果要優(yōu)化，得先知道這個(gè)特定的方向。這個(gè)方向就是之前提過(guò)的梯度，點(diǎn)積可以寫作：
式中的 |.| 表示向量長(zhǎng)度，α是兩向量間的夾角（這在任意維數(shù)上都是成立的，不只是二維）。顯而易見，當(dāng) cosα=1，即 α=0 時(shí)，表達(dá)式取最大值。這就意味著這兩個(gè)向量是平行的，所以 e 的方向和梯度方向是相同的。
訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)
現(xiàn)在要從理論轉(zhuǎn)戰(zhàn)實(shí)踐了，了解如何訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。假設(shè)任務(wù)是將有 n 維特征向量的圖像分成 c 類。從數(shù)學(xué)角度看，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)代表將 n 維特征空間映射到 c 維空間的函數(shù) f：
神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)本身是參數(shù)化的函數(shù)。方便起見，將參數(shù)標(biāo)記為 m 維向量：
為了表現(xiàn)出對(duì)參數(shù)的依賴，習(xí)慣記為：
將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)空間映射為實(shí)數(shù)。損失函數(shù)記為：
式中的
是觀測(cè)值為
的第 i 個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)
L 是損失函數(shù)項(xiàng)。例如，如果 J 是交叉熵?fù)p失，則：
式中
這看似簡(jiǎn)單，但難以計(jì)算。在真實(shí)世界中有數(shù)百萬(wàn)個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn) N，更別說(shuō)參數(shù) m 的數(shù)量了。所以，一共有數(shù)百萬(wàn)項(xiàng)，因此要計(jì)算數(shù)百萬(wàn)個(gè)導(dǎo)數(shù)來(lái)求最小值。那么在實(shí)踐中該如何解決這一問(wèn)題？
隨機(jī)梯度下降
要用梯度下降，得先計(jì)算：
如果 N 很大，那么計(jì)算量就很大，而一般都希望 N 大一點(diǎn)（因?yàn)橄胍M量多的數(shù)據(jù)）?？梢曰?jiǎn)嗎？一種方式是忽略一部分。盡管這看起來(lái)像個(gè)不靠譜的方案，但卻有堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。要理解這一點(diǎn)，首先注意 J 其實(shí)可以寫成期望值：
式中的
是訓(xùn)練數(shù)據(jù)給出的（經(jīng)驗(yàn)）概率分布?？梢詫⑿蛄袑懗桑?/p>
這樣就成了獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量。根據(jù)大數(shù)定律：
式中
是真正的總體分布（這是未知的）。再詳細(xì)點(diǎn)說(shuō)，因?yàn)樵黾恿擞?xùn)練數(shù)據(jù)，損失函數(shù)收斂到真實(shí)損失。因此，如果對(duì)數(shù)據(jù)二次采樣，并計(jì)算梯度：
對(duì)某些 i，如果計(jì)算足夠，仍然可以得到合理的估計(jì)。這就是所謂的隨機(jī)梯度下降，記為 SGD （Stochastic Gra ** nt Descent）。
我認(rèn)為，研究人員和數(shù)據(jù)科學(xué)家能有效訓(xùn)練深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)依賴于三個(gè)基礎(chǔ)發(fā)展：將 GPU 作為通用的計(jì)算工具、反向傳播還有隨機(jī)梯度下降?？梢钥隙ǖ卣f(shuō)，如果沒有 SGD，就無(wú)法廣泛應(yīng)用深度學(xué)習(xí)。
與幾乎所有新方法一樣，SGD 也引入了一堆新問(wèn)題。最明顯的是，二次采樣的樣本量要有多大？太小可能會(huì)造成梯度估計(jì)有噪聲，太大則會(huì)造成收益遞減。選擇子樣本也需要謹(jǐn)慎。例如如果所有子樣本都屬于一類，估計(jì)值可能會(huì)相差甚遠(yuǎn)。但在實(shí)踐中，這些問(wèn)題都可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)和適當(dāng)隨機(jī)化數(shù)據(jù)來(lái)解決。
改善梯度下降
梯度下降（以及 SGD 變體）存在一些問(wèn)題，因此這些方法在某些情況下可能會(huì)無(wú)效。例如，學(xué)習(xí)率控制著梯度方向上前進(jìn)的步長(zhǎng)。在這個(gè)參數(shù)上一般會(huì)犯兩個(gè)錯(cuò)誤。第一，步長(zhǎng)太大，以至于損失無(wú)法收斂，甚至可能分散；第二，步長(zhǎng)太小，可能因?yàn)榍斑M(jìn)太慢，永遠(yuǎn)都無(wú)法到達(dá)局部最小值。為了闡明這個(gè)問(wèn)題，以 f(x)=x+sin x 函數(shù)為例進(jìn)行研究：
假設(shè)從 x_0=2.5 開始進(jìn)行梯度下降，學(xué)習(xí)率 α 分別為 1、0.1 和 0.01。
理解起來(lái)可能不夠直觀，所以對(duì)每個(gè)學(xué)習(xí)率的 x-s 繪圖：
當(dāng) α=1 時(shí)，圖像在兩點(diǎn)間震蕩，無(wú)法收斂到局部最小值；當(dāng) α=0.01 時(shí)，收斂得似乎很慢。在本例中，α=0.1 似乎是合適的。那在一般情況下該如何確定這個(gè)值呢？這里的中心思想是，學(xué)習(xí)率不一定是恒定的。同理，如果梯度幅度很大，就應(yīng)該降低學(xué)習(xí)率，避免跳得太遠(yuǎn)。另一方面，如果梯度幅度較小，那可能意味著接近局部最優(yōu)值了，所以要避免超調(diào)（overshooting）的話，學(xué)習(xí)率絕對(duì)不能再增加了。動(dòng)態(tài)改變學(xué)習(xí)率的算法也就是所謂的自適應(yīng)算法。
最流行的自適應(yīng)算法之一是 AdaGrad。它會(huì)累積存儲(chǔ)梯度幅度和大小，并根據(jù)記錄調(diào)整學(xué)習(xí)率。AdaGrad 定義了累積變量 r_0=0 并根據(jù)規(guī)則進(jìn)行更新：
式中的
表示兩個(gè)向量的分量乘積。將其用于度量學(xué)習(xí)率：
式中的 δ 是為了保持?jǐn)?shù)據(jù)穩(wěn)定的數(shù)值，平方根是根據(jù)分量取的。首先，當(dāng)梯度大時(shí)，累積變量會(huì)很快地增長(zhǎng)，學(xué)習(xí)率會(huì)下降。當(dāng)參數(shù)接近局部最小值時(shí)，梯度會(huì)變小，學(xué)習(xí)率會(huì)停止下降。
當(dāng)然，AdaGrad 是一種可能的解決方案。每一年都會(huì)有越來(lái)越多先進(jìn)的優(yōu)化算法，來(lái)解決梯度下降相關(guān)的問(wèn)題。但即便是最先進(jìn)的方法，使用并調(diào)整學(xué)習(xí)率，都是很有好處的。
另一個(gè)關(guān)于梯度下降的問(wèn)題是要確定全局最優(yōu)值或與之接近的局部最優(yōu)值。看前面的例子，梯度下降通常會(huì)陷入局部最優(yōu)值。為了更好地了解這一問(wèn)題和更好的解決辦法，建議您閱讀 Ian Goodfellow、Yoshua Bengio 和 Aaron Courville 所著的《深度學(xué)習(xí)》（Deep Learning）第八章（ >deeplearningbook.org/）。
深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的損失函數(shù)什么樣？
前面的例子只可視化了非常簡(jiǎn)單的玩具示例，比如 f(x)=25sin x-x^2。這是有原因的：繪制超過(guò)兩個(gè)變量的函數(shù)圖像很難。考慮到固有的局限性，我們最多只能在三個(gè)維度上進(jìn)行觀察和思考。但為了了解神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的損失函數(shù)，可以采取一些技巧。Hao Li 等人發(fā)表的論文《Visualizing the Loss Landscape of Neural Nets》（ >arxiv.org/pdf/1712.09913.pdf）就是有關(guān)這個(gè)的，他們選擇兩個(gè)隨機(jī)方向，對(duì)二變量函數(shù)繪圖，從而可視化損失函數(shù)。
（為了避免因尺度不變而引起的失真，他們還在隨機(jī)方向中引入了一些歸一化因素。）他們的研究揭示了在 ResNet 架構(gòu)中，殘差連接是如何影響損失，讓優(yōu)化變得更容易的。
圖像來(lái)源：Hao Li 等人所著《Visualizing the Loss Landscape of Neural Nets》（）。無(wú)論殘差連接做出了多顯著的改善，我在這里主要是想說(shuō)明多維優(yōu)化的難度。在圖中的第一部分可以看出，有多個(gè)局部最小值、峰值和平穩(wěn)值等。好的架構(gòu)可以讓優(yōu)化變得更容易，但完善的優(yōu)化實(shí)踐，可以處理更復(fù)雜的損失情況。架構(gòu)和優(yōu)化器是相輔相成的。
總結(jié)
我們?cè)谇拔闹幸呀?jīng)了解了梯度背后的直觀理解，并從數(shù)學(xué)角度以精確的方式定義了梯度?？梢钥闯?，對(duì)于任何可微函數(shù)，無(wú)論變量數(shù)量如何，梯度總是指向最陡的方向。從概念上來(lái)講非常簡(jiǎn)單，但當(dāng)應(yīng)用在有數(shù)百萬(wàn)變量的函數(shù)上時(shí)，存在著很大的計(jì)算困難。隨機(jī)梯度下降可以緩解這個(gè)問(wèn)題，但還存在陷入局部最優(yōu)、選擇學(xué)習(xí)率等諸多問(wèn)題。因此，優(yōu)化問(wèn)題還是很困難的，需要研究人員和從業(yè)人員多加關(guān)注。事實(shí)上，有一個(gè)非常活躍的社區(qū)在不斷地進(jìn)行改善，并取得了非常驚人的成績(jī)！
